另一方面，阿贝尔并未否定对某些特殊的高次方程来说存在根式解的可能性。事实上，早在一八〇一年出版的《算术研究》里，高斯已经证明，分圆方程xp-1=0(p为素数)可以代数函数的积分，即由方程P(z,w)=0联系着的z与w的有理函数R(z,w)之积分关于它，有一系列的标准形式，使得任一类型的积分能通过适当的变换变为其中一个标准形式。历史上，阿贝尔积分理论
˙０˙ 翻开近代数学的教科书和专门著作，阿贝尔这个名字是屡见不鲜的：阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基阿贝尔(Abel)方程的一个特殊解法维普资讯http://cqvip
在阿贝尔极其短暂的数学生涯中，他留下的是多方面的非凡贡献：他首次证明一般五次和高于五次的方程不存在根式解；他是椭圆函数论的奠基人之一，这一被后来人称为也许是19世纪最伟大的发现，“给数学家他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——
1824年，阿贝尔证明了五次或五次以上的代数方程没有一般的用根式求解的公式.该证明写进了“论代数方所谓方程有根式解(代数可解),就是这个方程的解可由该方程的1823年，阿贝尔发表了第一篇论文——用积分方程解古典的等时线问题，这篇论文表明他是第一个直接应用并解出积分方程的人。阿贝尔的教授以及同学们都强烈意识
